a: Xét ΔAEB và ΔCFD có 

AE=CF

\(\widehat{EAB}=\widehat{FCD}\)

AB=CD

Do đó: ΔAEB=ΔCFD

Suy ra:BE=FD

Xét ΔADE và ΔCBF có 

AE=CF

\(\widehat{DAE}=\widehat{BCF}\)

AE=CF

Do đó: ΔADE=ΔCBF

Suy ra: DE=BF

Xét tứ giác BEDF có 

BE=DF

DE=BF

Do đó: BEDF là hình bình hành

Bài 1:

a) Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AB (gt) ,E là trung điểm của AC (gt)

\(\Rightarrow ME\)là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow ME=\frac{1}{2}BC\left(tc\right)\left(1\right)\)

Xét tam giác ADC có E là trung điểm của AC (gt) ,P là trung điểm của DC (gt)

\(\Rightarrow PE\)là đường trung bình của tam giác ADC

\(\Rightarrow PE=\frac{1}{2}AD\left(tc\right)\left(2\right)\)

mà \(AD=BC\left(gt\right)\left(3\right)\)

Từ (1) , (2) và (3) \(\Rightarrow EM=PE\)

CMTT: \(PE=FP,FM=ME\)

\(\Rightarrow ME=EP=PF=FM\)

Xét tứ giác MEPF có:

\(ME=EP=PF=FM\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MEPF\)là hình thoi ( dhnb)

 b) Vì \(MEPF\)là hình thoi (cmt)

\(\Rightarrow FE\)giao với MP tại trung điểm mỗi đường (tc)  (4)

Xét tam giác ADB có M là trung điểm của AB(gt) ,Q là trung điểm của AD (gt)

\(\Rightarrow MQ\)là đường trung bình của tam giác ADB

\(\Rightarrow MQ//DB,MQ=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(5\right)\)

Xét tam giác BDC có N là trung điểm của BC(gt) , P là trung điểm của DC(gt)

\(\Rightarrow NP\)là đường trung bình của tam giác BDC

\(\Rightarrow NP//DB,NP=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(6\right)\)

Từ (5) và (6) \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)

Xét tứ giác MQPN có \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)

\(\Rightarrow MQPN\)là hình bình hành (dhnb)

\(\Rightarrow MP\)giao QN tại trung điểm mỗi đường (tc) (7)

Từ (4) và (7) \(\Rightarrow MP,NQ,EF\)cắt nhau tại một điểm 

c) Xét tam giác ABD có Q là trung điểm của AD (gt), F là trung điểm của BD(gt)

\(\Rightarrow QF\)là đường trung bình của tam giác ADB

\(\Rightarrow QF//AB\left(8\right)\)

CMTT: \(FN//CD\)và \(EN//AB\)

Mà Q,F,E,N thẳng hàng 

\(\Rightarrow AB//CD\)

Vậy để Q,F,E,N thẳng hàng thì tứ giác ABCD phải thêm điều kiện  \(AB//CD\)

Tối về mình làm nốt  nhé giờ mình có việc 

Bài 4 :

Để tứ giác ABCD là hình bình hành

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{DAB}=\widehat{DCB}=120^o\\\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\end{cases}}\)

Lại có : \(\widehat{DAB}+\widehat{DCB}+\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=360^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=120^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=60^o\)

a: Xét ΔANF có 

M là trung điểm của AN

E là trung điểm của AF

Do đó: ME là đường trung bình của ΔANF

Suy ra: ME//NF

hay MEFN là hình thang

b: Xét ΔBEM có

N là trung điểm của BM

NI//ME

Do đó: I là trung điểm của BE

hay BI=IE

{AD // BCAD = BC AB = CDAB // CD

Vì AD // BC

⇒ AD // BE

Vì {AD = BCBE= BC

⇒ AD = BE

Tứ giác EADB có

{AD // BEAD = BE

⇒ Tứ giác EADB là hình bình hành (đpcm)

b, Vì tứ giác EADB là hình bình hành

⇒ AE // BD (1)

Vì {AB = CDDF = CD

⇒ AB = DF

Vì AB // CD

⇒ AB // DF

Tứ giác ABDF có

{AB = DFAB // DF

⇒ Tứ giác ABDF là hình bình hành

⇒ AF // BD (2)

Từ (1), (2) ⇒ E, A và F thẳng hàng (đpcm)

c, Vì tứ giác EADB là hình bình hành

⇒ AE = BD (3)

Vì tứ giác ABDF là hình bình hành

⇒ AF = BD (4)

Từ (3), (4) ⇒ AE = AF

Vì {AE = AFE, A, F thẳng hàng 

⇒ A là trung điểm của EF

⇒ CA là đường trung tuyến của ΔCEF

Vì DC = DF

⇒ D là trung điểm của EF

⇒ ED là đường trung tuyến của ΔCEF

Vì BE = BC

⇒ B là trung điểm của EC

⇒ FB là đường trung tuyến của ΔCEF

Như vậy

{CA là đường trung tuyến của ΔCEF ED là đường trung tuyến của ΔCEFFB là đường trung tuyến của ΔCEF